Композиційний ряд

Нехай ${\displaystyle G}$ буде групою і нехай ${\displaystyle G_{0},\cdots ,G_{n}}$ будуть підгрупами ${\displaystyle G}$ такими, що

1. ${\displaystyle G_{n}=\{1\}}$ і ${\displaystyle G_{0}=G,}$
2. ${\displaystyle G_{i+1}\triangleleft G_{i},i=0,\cdots ,n-1}$ так, що ${\displaystyle G_{i+1}}$ є максимальною нормальною підгрупою ${\displaystyle G_{i}.}$

Тоді ряд

${\displaystyle \{1\}=G_{n}\triangleleft G_{n-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{0}=G}$

називається композиційним рядом ${\displaystyle G.}$ Фактор-групи ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ називаються факторами композиційного ряду.

Інший спосіб ствердження, що ${\displaystyle G_{i+1}}$ є максимальною підгрупою ${\displaystyle G_{i}}$ такий: ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ — проста група, ${\displaystyle i=0,\cdots ,n-1.}$ Це можна побачити за допомогою теореми відповідності. Якщо ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ — проста, тоді згідно з визначенням вона має лише тривіальні нормальні підгрупи, а саме ${\displaystyle G_{i+1}}$ і ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1},}$ які точно відповідають підгрупам ${\displaystyle G_{i+1}}$ і ${\displaystyle G_{i}}$ в ${\displaystyle G_{i},}$ що показує, що ${\displaystyle G_{i+1}}$ — максимальна нормальна підгрупа в ${\displaystyle G_{i}.}$

Див. також

• Ряд підгруп

Джерела

• Weisstein, Eric W. Композиційний ряд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)