Квадрат (алгебра)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Квадрат (значення).

Квадра́том числа називається результат множення числа на себе (піднесення числа до степеня 2). Зворотна операція по відношенню до піднесення до квадрата — отримання квадратного кореня.

y=x², при цілих значеннях x на відрізку від 1 до 25

Квадрат цілого числа

Початок числової послідовності для квадратів цілих невід'ємних чисел (послідовність A000290 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) виглядає наступним чином:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849…

Квадрат натурального числа ${\displaystyle n}$ можна також записати у вигляді суми перших ${\displaystyle n}$ непарних чисел:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+3}$

…

7: ${\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}$

…

Ще один спосіб запису квадрата натурального числа:

${\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n}$

Приклад:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+1+2}$

…

4: ${\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}$

…

Сума квадратів перших ${\displaystyle n}$ натуральних чисел обчислюється за формулою:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраїчній формі можна обчислити за формулою:

${\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}$

Аналогічна формула для комплексного числа у тригонометричній формі:

${\displaystyle r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}$

Геометричний зміст

Квадрат числа дорівнює площі квадрата зі стороною, яка дорівнює цьому числу.

Див. також

• Квадратична функція
• Квадратична форма
• Куб (алгебра)
• Функція суми квадратів

Посилання

• Степень // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : «Советская энциклопедия», 1969—1978. (рос.).