Задача здійсненності булевих формул

Зада́ча здійсне́нності бу́левих фо́рмул (SAT, від англ. satisfiability) — важлива для теорії обчислювальної складності алгоритмічна задача.

Об'єктом задачі SAT є , що складається тільки з назв змінних, дужок і операцій ${\displaystyle \wedge }$ (І) ${\displaystyle \vee }$ (АБО) і ${\displaystyle \neg }$ (НІ). Задача полягає в наступному: чи можна призначити усім змінним, що трапляються у формулі, значення хибність і істина так, щоб формула стала істинною.

Згідно з теоремою Кука, доведеною Стівеном Куком в 1971-му році, задача SAT для булевих формул, записаних в кон'юнктивній нормальній формі, є NP-повною. Вимога про запис у кон'юнктивній формі є важливою, оскільки, наприклад, для формул, представлених в диз'юнктивній нормальній формі, задача SAT тривіально вирішується за лінійний час від розміру запису формули.

Точне формулювання

Щоб чітко сформулювати , необхідно домовитися про алфавіт, за допомогою якого задаються екземпляри мови. Цей алфавіт має бути фіксованим і скінченним. У своїй книзі Гопкрофт, Мотвані і Ульман запропонували застосувати наступний алфавіт: {"${\displaystyle \wedge }$", «${\displaystyle \vee }$», «${\displaystyle \neg }$», «${\displaystyle (}$», «${\displaystyle )}$», «${\displaystyle x}$», «${\displaystyle 0}$», «${\displaystyle 1}$»}.

При застосуванні такого алфавіту дужки й оператори записуються природним чином, а змінні отримують такі назви: x1, x10, x11, x100 і т. д., згідно з їх номерами, записаними в двійковій системі числення.

Нехай деяка , записана в звичайній математичній нотації, має довжину ${\displaystyle N}$ символів. У ній кожне входження кожної змінної описано хоча б одним символом, отже, всього в цій формулі не більше ${\displaystyle N}$ змінних. Значить, у запропонованій вище нотації кожна змінна буде записана за допомогою ${\displaystyle O\left(\log {N}\right)}$ символів. У такому разі, вся формула в новій нотації матиме довжину ${\displaystyle O\left(N\log {N}\right)}$ символів, тобто довжина рядка зросте в поліноміальну кількість разів.

Наприклад, формула ${\displaystyle a\wedge \neg (b\vee c)}$ набуде вигляду ${\displaystyle x1\wedge \neg (x10\vee x11)}$.

Обчислювальна складність

У 1971-му році в статті Стівена Кука був уперше введений термін «NP-повна задача», і задача SAT була першою задачею, для якої доводилася ця властивість.

У доказі теореми Кука кожна задача з класу NP в явному виді зводиться до SAT. Після появи результатів, Кук довів NP-повноту для багатьох інших задач. При цьому найчастіше для доказу NP-повноти деякої задачі наводиться задачі SAT до цієї задачі, можливо, в декілька кроків, тобто, з використанням кількох проміжних задач.

Окремі випадки задачі SAT

Цікавими окремими випадками задачі SAT є:

• Задача здійсненності булевих формул у кон'юнктивній нормальній формі (SATCNF) — аналогічна задача, з накладеною на формулу умовою: вона має бути записана в кон'юнктивній нормальній формі.

• Задача здійсненності булевих формул у k-кон'юнктивній нормальній формі (k-SAT) — задача здійсненності за умови, що формула записана в k-кон'юнктивній нормальній формі. Ця задача є NP-повною при ${\displaystyle k\geq 3}$.

• Задача здійсненності булевих формул у 2-кон'юнктивній нормальній формі має поліноміальний розв'язок, тобто належить класу P.

Див. також

• (Satisfiability Modulo Theories)
• Проблема трійок Буля — Піфагора

Посилання

• (питання зведення 3-SAT до 2-SAT) [ 9 січня 2010 у Wayback Machine.]
• The international SAT Competitions web page [ 12 лютого 2005 у Wayback Machine.]
• SATLIB — The Satisfiability Library [ 11 лютого 2021 у Wayback Machine.]
• Sat Live [ 7 листопада 2020 у Wayback Machine.] — загальний сайт про SAT.