В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.
Доповнення множин | |
Головний предмет твору | d і d |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
Команда TeX | \complement |
Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).
Різниця множин (відносне доповнення)
Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZoTDFabGJtNHdNREV3TG5OMlp5OHlNREJ3ZUMxV1pXNXVNREF4TUM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).
Формально:
Приклади:
- {1,2,3} − {2,3,4} = {1}
- {2,3,4} − {1,2,3} = {4}
- Якщо
- множина дійсних чисел, і
- множина всіх раціональних чисел то
є множиною ірраціональних чисел.
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення::
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
Абсолютне доповнення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlZpTDFabGJtNHhNREV3TG5OMlp5OHlNREJ3ZUMxV1pXNXVNVEF4TUM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA:
- AC = U − A
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення:
- правила де Моргана:
- (A ∪B)C = AC ∩BC
- (A ∩B)C = AC ∪BC
- закони доповнення:
- A ∪AC = U
- A ∩AC = Ø
- ØC = U
- UC = Ø
- закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією):
- ACC = A.
Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є (непорожня підмножина) U, то {A, AC } є поділом U.
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет