Дельтаэдр — це багатогранник, всі грані якого є правильними трикутниками. Назву взято від грецької великої літери дельта (), яка має форму рівностороннього трикутника. Існує нескінченно багато дельтаедрів, але з них лише вісім опуклі, і вони мають 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 і 20 граней.
Нижче перелічено числа граней, ребер і вершин для кожного з восьми дельтаедрів.
Опуклі дельтаедри
Всього існує 8 опуклих дельтаедрів, 3 з яких є платоновими тілами, а 5 — багатогранниками Джонсона.
У дельтаедра з 6 гранями деякі вершини мають ступінь 3, а деякі — ступінь 4. У дельтаедрів з 10, 12, 14 і 16 гранями деякі вершини мають ступінь 4, а деякі — ступінь 5. Ці п'ять неправильних дельтаедрів належать до класу правильногранних багатогранників — опуклих багатогранників з гранями у вигляді правильних багатокутників.
Не існує опуклого дельтаедра з 18 гранями. Однак [en] є прикладом октаедра, який можна зробити опуклим з 18 неправильними гранями, або з двома наборами по три рівносторонніх трикутники, що лежать в одній площині.
Правильні дельтаедри | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Назва | Зображення | Кількість вершин | Кількість ребер | Кількість граней | Конфігурація вершини | Група симетрії |
Правильний тетраедр | 4 | 6 | 4 | 4 × 33 | Td, [3,3] | |
Правильний октаедр (чотирикутна біпіраміда) | 6 | 12 | 8 | 6 × 34 | Oh, [4,3] | |
Правильний ікосаедр | 12 | 30 | 20 | 12 × 35 | Ih, [5,3] | |
Дельтаедри Джонсона | ||||||
(Трикутна біпіраміда) | 5 | 9 | 6 | 2 × 33 3 × 34 | D3h, [3,2] | |
П'ятикутна біпіраміда | 7 | 15 | 10 | 5 × 34 2 × 35 | D5h, [5,2] | |
8 | 18 | 12 | 4 × 34 4 × 35 | D2d, [2,2] | ||
9 | 21 | 14 | 3 × 34 6 × 35 | D3h, [3,2] | ||
10 | 24 | 16 | 2 × 34 8 × 35 | D4d, [4,2] |
Нестрого опуклі випадки
Існує нескінченно багато дельтаедрів з копланарними (належними одній площині) трикутниками. Якщо множини копланарних трикутників вважати однією гранню, можна нарахувати менше граней, ребер і вершин. Копланарні трикутні грані можуть бути злиті в ромбічні, трапецієподібні, шестикутні або інші рівносторонні багатокутні грані. Кожна грань має бути опуклим (поліамондом), таким як , , , , , , і , …
Деякі невеликі приклади
Малюнок | Назва | Граней | Ребер | Вершин | Конфігурації вершин | Група симетрії |
---|---|---|---|---|---|---|
[en] Нарощення 1 тетр. + 1 окт. | 10 | 15 | 7 | 1 × 33 3 × 34 3 × 35 0 × 36 | C3v, [3] | |
4 3 | 12 | |||||
[en] Нарощення 2 тетр. + 1 окт. | 12 | 18 | 8 | 2 × 33 0 × 34 6 × 35 0 × 36 | C3v, [3] | |
6 | 12 | |||||
Нарощення 2 тетр. + 1 окт. | 12 | 18 | 8 | 2 × 33 1 × 34 4 × 35 1 × 36 | C2v, [2] | |
2 2 2 | 11 | 7 | ||||
Трикутна зрізана піраміда Нарощення 3 тетр. + 1 окт. | 14 | 21 | 9 | 3 × 33 0 × 34 3 × 35 3 × 36 | C3v, [3] | |
1 3 1 | 9 | 6 | ||||
[en] Нарощення 2 тетр. + 2 окт. | 16 | 24 | 10 | 0 × 33 4 × 34 4 × 35 2 × 36 | D2h, [2,2] | |
4 4 | 12 | 6 | ||||
Тетраедр Нарощення 4 тетр. + 1 окт. | 16 | 24 | 10 | 4 × 33 0 × 34 0 × 35 6 × 36 | Td, [3,3] | |
4 | 6 | 4 | ||||
Нарощення 3 тетр. + 2 окт. | 18 | 27 | 11 | 1 × 33 2 × 34 5 × 35 3 × 36 | D2h, [2,2] | |
2 1 2 2 | 14 | 9 | ||||
[en] | 18 | 27 | 11 | 0 × 33 2 × 34 8 × 35 1 × 36 | C2v, [2] | |
12 2 | 22 | 10 | ||||
[en] Нарощення 6 тетр. + 2 окт. | 20 | 30 | 12 | 0 × 33 3 × 34 6 × 35 3 × 36 | D3h, [3,2] | |
2 6 | 15 | 9 | ||||
(Трискатний купол) Нарощення 4 тетр. + 3 окт. | 22 | 33 | 13 | 0 × 33 3 × 34 6 × 35 4 × 36 | C3v, [3] | |
3 3 1 1 | 15 | 9 | ||||
(Трикутна біпіраміда) Нарощення 8 тетр. + 2 окт. | 24 | 36 | 14 | 2 × 33 3 × 34 0 × 35 9 × 36 | D3h, [3] | |
6 | 9 | 5 | ||||
Шестикутна антипризма | 24 | 36 | 14 | 0 × 33 0 × 34 12 × 35 2 × 36 | D6d, [12,2+] | |
12 2 | 24 | 12 | ||||
(Зрізаний тетраедр) Нарощення 6 тетр. + 4 окт. | 28 | 42 | 16 | 0 × 33 0 × 34 12 × 35 4 × 36 | Td, [3,3] | |
4 4 | 18 | 12 | ||||
[en]Октаедр Нарощення 8 тетр. + 6 окт. | 32 | 24 | 18 | 0 × 33 12 × 34 0 × 35 6 × 36 | Oh, [4,3] | |
8 | 12 | 6 |
Неопуклі дельтаедри
Неопуклих і (тороїдальних) дельтаедрів існує нескінченно багато.
Приклад дельтаедра з самоперетинами граней:
- Великий ікосаедр — тіло Кеплера — Пуансо, з 20 трикутниками, що перетинаються
Інші неопуклі дельтаедри можна отримати шляхом додавання пірамід до граней всіх 5 правильних багатогранників:
(Триакістетраедр) | (Триакісоктаедр) (stella octangula) | (Триакісікосаедр) | ||
---|---|---|---|---|
12 трикутників | 24 трикутників | 60 трикутників |
Інші нарощення тетраедрів:
8 трикутників | 10 трикутників | 12 трикутників |
---|
Також шляхом додавання до граней перекинутих пірамід:
[en] | (Тороїдальний дельтаедр) |
60 трикутників | 48 трикутників |
---|
Примітки
- Freudenthal, van der Waerden, 1947, с. 115–128.
- . Архів оригіналу за 26 вересня 2020. Процитовано 27 жовтня 2020.
- Trigg, 1978, с. 55–57.
- . Архів оригіналу за 26 жовтня 2020. Процитовано 27 жовтня 2020.
Література
- (Freudenthal H.), van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // [en]. — 1947. — Т. 25 (16 червня). — С. 115–128. (Автори показали, що існує тільки 8 опуклих дельтаедрів.)
- Charles W. Trigg. An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вип. 1 (16 червня). — С. 55–57.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет