Гіпотеза Ердеша — Бура — математична проблема, що стосується числа Рамсея на розріджених графах. Гіпотезу названо на честь Пала Ердеша та . Гіпотеза стверджує, що число Рамсея в будь-якому сімействі розріджених графів має майже лінійне зростання залежно від кількості вершин графа.
2017 року Чунбум Лі (Choongbum Lee) повністю довів цю гіпотезу (таким чином, тепер вона є теоремою).
Визначення
Якщо G — неорієнтований граф, то виродженість G — це найменше число p, таке, що будь-який підграф G містить вершину степеня p або менше. Граф A з виродженістю p називають p-виродженим. p-виродженість графа можна визначити також як можливість звести граф до порожнього послідовним видаленням вершин степеня p і менше.
З (теореми Рамсея) випливає, що для будь-якого графа G існує таке ціле , зване числом Рамсея для G, що будь-який повний граф з не менш ніж
вершинами, ребра якого пофарбовано в червоний та синій кольори, містить монохромну копію графа G. Наприклад, число Рамсея для трикутника дорівнює 6: незалежно від того, як розфарбовано ребра повного графа з шести вершин у червоний та синій кольори, завжди знайдеться червоний або синій трикутник.
Гіпотеза
1973 року Пал Ердеш і висловили таку гіпотезу:
- Для будь-якого цілого p існує константа cp така, що будь-який p-вироджений граф G на n вершинах має число Рамсея, що не перевищує cp n.
Таким чином, якщо граф G з n вершинами є p-виродженим, то одноколірна копія графа G повинна існувати в будь-якому пофарбованому двома кольорами графі з cp n вершинами.
Проміжні результати
До того, як гіпотезу було повністю доведено, вона була доведена для окремих випадків. Так, доведення гіпотези для графів з обмеженим степенем вершин наведено в статті (Хватала), , Семереді і . Їхнє доведення приводить до дуже великого значення cp. Константу покращено в статті (Nancy Eaton) та в статті Рональда Грема.
Відомо, що гіпотеза правильна для p-обмежених графів, які включають графи з обмеженим найбільшим степенем вершин, планарні графи і графи, що не містять розщеплення Kp (тут під розщепленням розуміється операція, обернена до стягування, тобто заміна дуги двома дугами з доданням вершини).
Відомо, що гіпотеза істинна для розщеплених графів, тобто графів, у яких жодні дві сусідні вершини не мають степеня, більшого за два.
Для довільного графа відомо, що число Рамсея обмежене функцією, яка росте трохи надлінійно. А саме, і показали, що існує константа cp така, що для будь-якого p-виродженого графа G з n вершинами
Примітки
- Choongbum Lee. Ramsey numbers of degenerate graphs // Annals of Mathematics. — 2017. — Т. 185, вип. Issue 3. — С. 791-829. — arXiv:1505.04773. з джерела 24 квітня 2019.
- Вацлав Хватал (Václav Chvátal), Войцех Редль (Vojtěch Rödl), Ендре Семереді, Вільям Троттер (William Trotter, Jr.). Число Рамсея для графа з обмеженим степенем вершин. // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1983. — Vol. 34, iss. 3. — P. 239–243. — DOI: .
- Ненсі Ітон (Nancy Eaton). Число Рамсея для розріджених графів // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 185, вип. 1–3. — С. 63–75. — DOI: .
- Рональд Грем (Ronald Graham), Войцех Редль (Vojtěch Rödl), Анджей Ручинські (Andrzej Rucínski). Графи з лінійними числами Рамсея // Journal of Graph Theory. — 2000. — Т. 35, вип. 3. — С. 176–192. — DOI: .
- Нога Алон (Noga Alon). Subdivided graphs have linear Ramsey numbers // Journal of Graph Theory. — 1994. — Т. 18, вип. 4. — С. 343–347. — DOI: ., Юшенг Лі (Yusheng Li), Сесіль Руссо (Cecil C. Rousseau), Любомир Солтес (Ľubomír Soltés). Ramsey linear families and generalized subdivided graphs // Discrete Mathematics. — 1997. — Т. 170, вип. 1–3. — С. 269–275. — DOI: .
- Якоб Фокс (Jacob Fox), Бенні Судаков (Benny Sudakov). Два зауваження з приводу гіпотезы Ердеша — Бура // European Journal of Combinatorics : журнал. — 2009. — Vol. 30, iss. 7. — P. 1630–1645. — DOI: .
Посилання
- (Stefan Burr), Пал Ердеш. Нескінченні та скінченні множини = Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. Erdős on his 60th birthday), Vol. 1. — Amsterdam : North-Holland, 1975. — Т. 10. — С. 214–240. — (Colloq. Math. Soc. János Bolyai).
- Гуантано Чен (Guantao Chen), Річард Шелп (Richard H. Schelp). Графи з лінійно обмеженими числами Рамсея // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1993. — Т. 57, вип. 1. — С. 138–149. — DOI: ..
- Рональд Грем (Ronald Graham), Войцех Редль (Vojtěch Rödl), Анджей Ручинські (Andrzej Rucínski). Пал Ердеш і його математика (Будапешт, 1999) // Combinatorica. — 2001. — Т. 21, вип. 2. — С. 199–209. — DOI: .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет