Гранична ознака порівняння (на відміну від пов'язаної прямої ознаки порівняння) — це математичний критерій збіжності, який використовується для визначення збіжності чи розбіжності нескінченного ряду.
Твердження
Нехай задано два ряди і
, де
,
для будь-якого
. Якщо
, причому
, тоді обидва ряди або збіжні або навпаки є розбіжними.
Доведення
Оскільки , то для будь-якого
існує натуральне число
таке, що всіх
, виконується нерівність
, що рівносильно:
Оскільки , то можемо обрати
як завгодно малим, щоб
. Тоді
, і за ознакою порівняння, якщо ряд
є збіжним, то збіжним буде і ряд
.
Аналогічно для , якщо ряд
є розбіжним, то знову ж таки за ознакою порівняння розбіжним буде і ряд
.
Отже, обидва ряди є збіжними, або розбіжними.
Приклад
Визначимо, чи буде збіжним ряд
Для цього порівняємо його зі збіжним рядом
Оскільки
тому початковий ряд також є збіжним.
Одностороння версія
Односторонню версію граничної ознаки порівняння можна сформулювати за допомогою верхньої та нижньої границі. Нехай для будь-яких
. Тоді, якщо
є збіжним, тоді ряд
обов'язково буде збіжним.
Приклад
Нехай і
для будь-яких
. Тоді
не існує, і в цьому випадку не можна використовувати стандартну версію граничної ознаки порівняння. Однак
ряд є збіжним, і тому згідно з односторонньою версією граничної ознаки порівняння ряд
буде збіжним.
Обернена одностороння версія
Нехай для будь-якого
. Якщо ряд
розбіжний, а
збіжний, тоді обов'язково
або
Головним тут є те, що у деякому сенсі числа більші за числа
.
Приклад
Нехай функція — аналітична на одиничному крузі
і має образ скінченної площі. Відповідно до формули Парсеваля площа образу функції дорівнює
. Крім того, ряд
є розбіжним. Отже, згідно з оберненою граничною ознакою маємо
тобто
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR [ 13 травня 2021 у Wayback Machine.])
- J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR [ 5 грудня 2019 у Wayback Machine.])
Зовнішні лінки
- Pauls Online Notes on Comparison Test [ 14 липня 2014 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Granichna oznaka porivnyannya na vidminu vid pov yazanoyi pryamoyi oznaki porivnyannya ce matematichnij kriterij zbizhnosti yakij vikoristovuyetsya dlya viznachennya zbizhnosti chi rozbizhnosti neskinchennogo ryadu TverdzhennyaNehaj zadano dva ryadi n a n displaystyle sum n a n i n b n displaystyle sum n b n de a n 0 displaystyle a n geq 0 b n gt 0 displaystyle b n gt 0 dlya bud yakogo n displaystyle n Yaksho lim n a n b n c displaystyle lim limits n to infty dfrac a n b n c prichomu 0 lt c lt displaystyle 0 lt c lt infty todi obidva ryadi abo zbizhni abo navpaki ye rozbizhnimi DovedennyaOskilki lim n a n b n c displaystyle lim limits n to infty frac a n b n c to dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye naturalne chislo n 0 gt 0 displaystyle n 0 gt 0 take sho vsih n n 0 displaystyle n geq n 0 vikonuyetsya nerivnist a n b n c lt e displaystyle left dfrac a n b n c right lt varepsilon sho rivnosilno e lt a n b n c lt e displaystyle varepsilon lt frac a n b n c lt varepsilon c e lt a n b n lt c e displaystyle c varepsilon lt frac a n b n lt c varepsilon c e b n lt a n lt c e b n displaystyle c varepsilon b n lt a n lt c varepsilon b n Oskilki c gt 0 displaystyle c gt 0 to mozhemo obrati e displaystyle varepsilon yak zavgodno malim shob c e gt 0 displaystyle c varepsilon gt 0 Todi b n lt 1 c e a n displaystyle b n lt dfrac 1 c varepsilon a n i za oznakoyu porivnyannya yaksho ryad n a n displaystyle sum n a n ye zbizhnim to zbizhnim bude i ryad n b n displaystyle sum n b n Analogichno dlya a n lt c e b n displaystyle a n lt c varepsilon b n yaksho ryad n a n displaystyle sum n a n ye rozbizhnim to znovu zh taki za oznakoyu porivnyannya rozbizhnim bude i ryad n b n displaystyle sum n b n Otzhe obidva ryadi ye zbizhnimi abo rozbizhnimi PrikladViznachimo chi bude zbizhnim ryad n 1 1 n 2 2 n displaystyle sum limits n 1 infty frac 1 n 2 2n Dlya cogo porivnyayemo jogo zi zbizhnim ryadom n 1 1 n 2 p 2 6 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 frac pi 2 6 Oskilki lim n 1 n 2 2 n n 2 1 1 gt 0 displaystyle lim limits n to infty frac 1 n 2 2n frac n 2 1 1 gt 0 tomu pochatkovij ryad takozh ye zbizhnim Odnostoronnya versiyaOdnostoronnyu versiyu granichnoyi oznaki porivnyannya mozhna sformulyuvati za dopomogoyu verhnoyi ta nizhnoyi granici Nehaj a n b n 0 displaystyle a n b n geq 0 dlya bud yakih n displaystyle n Todi yaksho lim sup n a n b n c 0 c lt displaystyle limsup n to infty frac a n b n c quad 0 leq c lt infty n b n displaystyle sum limits n b n ye zbizhnim todi ryad n a n displaystyle sum limits n a n obov yazkovo bude zbizhnim PrikladNehaj a n 1 1 n n 2 displaystyle a n dfrac 1 1 n n 2 i b n 1 n 2 displaystyle b n dfrac 1 n 2 dlya bud yakih n displaystyle n Todi lim n a n b n lim n 1 1 n displaystyle lim limits n to infty frac a n b n lim limits n to infty 1 1 n ne isnuye i v comu vipadku ne mozhna vikoristovuvati standartnu versiyu granichnoyi oznaki porivnyannya Odnak lim sup n a n b n lim sup n 1 1 n 2 0 displaystyle limsup n to infty frac a n b n limsup n to infty 1 1 n 2 in 0 infty ryad n 1 1 n 2 displaystyle sum limits n 1 infty frac 1 n 2 ye zbizhnim i tomu zgidno z odnostoronnoyu versiyeyu granichnoyi oznaki porivnyannya ryad n 1 1 1 n n 2 displaystyle sum limits n 1 infty frac 1 1 n n 2 bude zbizhnim Obernena odnostoronnya versiyaNehaj a n b n 0 displaystyle a n b n geq 0 dlya bud yakogo n displaystyle n Yaksho ryad n a n displaystyle sum n a n rozbizhnij a n b n displaystyle sum n b n zbizhnij todi obov yazkovo lim sup n a n b n displaystyle limsup n to infty frac a n b n infty abo lim inf n b n a n 0 displaystyle liminf n to infty frac b n a n 0 Golovnim tut ye te sho u deyakomu sensi chisla a n displaystyle a n bilshi za chisla b n displaystyle b n PrikladNehaj funkciya f z n 0 a n z n displaystyle f z sum limits n 0 infty a n z n analitichna na odinichnomu kruzi D z C z lt 1 displaystyle D z in mathbb C colon z lt 1 i maye obraz skinchennoyi ploshi Vidpovidno do formuli Parsevalya plosha obrazu funkciyi f displaystyle f dorivnyuye n 1 n a n 2 displaystyle sum limits n 1 infty n a n 2 Krim togo ryad n 1 1 n displaystyle sum limits n 1 infty 1 n ye rozbizhnim Otzhe zgidno z obernenoyu granichnoyu oznakoyu mayemo lim inf n n a n 2 1 n lim inf n n a n 2 0 displaystyle liminf n to infty frac n a n 2 1 n liminf n to infty n a n 2 0 tobto lim inf n n a n 0 displaystyle liminf n to infty n a n 0 DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Michele Longo and Vincenzo Valori The Comparison Test Not Just for Nonnegative Series Mathematics Magazine Vol 79 No 3 Jun 2006 pp 205 210 JSTOR 13 travnya 2021 u Wayback Machine J Marshall Ash The Limit Comparison Test Needs Positivity Mathematics Magazine Vol 85 No 5 December 2012 pp 374 375 JSTOR 5 grudnya 2019 u Wayback Machine Zovnishni linkiPauls Online Notes on Comparison Test 14 lipnya 2014 u Wayback Machine