Границя послідовності

В математиці границею послідовності елементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття границі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.

Позначення: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$

(читається: границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a)

Спорідненість зі збіжністю

Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У гаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).

Граничність у просторах

У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.

Топологія

Послідовність точок ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ топологічного простору ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$ називається збіжною до точки ${\displaystyle x}$, якщо для будь-якого околу точки ${\displaystyle x,O(x)}$ існує такий номер ${\displaystyle N}$, що всі елементи послідовності починаючи з цього номера належать околу:

${\displaystyle (\forall n\geq N)(x_{n}\in O(x))}$

Точка ${\displaystyle x}$ називається границею послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі відкриті множини точки являють собою систему околів цієї точки.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
• Границя послідовності // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 199. — 594 с.

Примітки

1. «Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes — граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»