В математиці границею послідовності елементів метричного простору або топологічного простору називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття границі числової послідовності, що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.
Позначення:
(читається: границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a)
Спорідненість зі збіжністю
Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У гаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).
Граничність у просторах
У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.
Топологія
Послідовність точок топологічного простору називається збіжною до точки , якщо для будь-якого околу точки існує такий номер , що всі елементи послідовності починаючи з цього номера належать околу:
Точка називається границею послідовності Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі відкриті множини точки являють собою систему околів цієї точки.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Границя послідовності // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 199. — 594 с.
Примітки
- «Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes — граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici graniceyu poslidovnosti elementiv metrichnogo prostoru abo topologichnogo prostoru nazivayut element togo zh prostoru yakij maye vlastivist prityaguvati elementi zadanoyi poslidovnosti Graniceyu poslidovnosti elementiv topologichnogo prostoru ye taka tochka kozhen okil yakoyi mistit vsi elementi poslidovnosti pochinayuchi z deyakogo nomera U metrichnomu prostori okil viznachayetsya cherez funkciyu vidstani tomu ponyattya granici formulyuyetsya na movi vidstanej Istorichno pershim bulo ponyattya granici chislovoyi poslidovnosti sho vinikaye v matematichnomu analizi de vono sluzhit pidstavoyu dlya sistemi nablizhen i shiroko vikoristovuyetsya pri pobudovi diferencialnogo j integralnogo chislennya Poznachennya limn xn a displaystyle lim n to infty x n a chitayetsya granicya poslidovnosti iks enne pri en sho pragne do neskinchennosti dorivnyuye a Sporidnenist zi zbizhnistyu Vlastivist poslidovnosti mati granicyu nazivayut zbizhnistyu yaksho u poslidovnosti ye granicya to kazhut sho dana poslidovnist zbigayetsya v inshomu vipadku yaksho u poslidovnosti nemaye granici govoryat sho poslidovnist rozbigayetsya U gausdorfovomu prostori i zokrema metrichnomu prostori kozhna pidposlidovnist zbizhnoyi poslidovnosti zbigayetsya i yiyi granicya dorivnyuye granici velikoyi poslidovnosti Inshimi slovami u poslidovnosti elementiv gausdorfovogo prostoru ne mozhe buti dvoh riznih granic Mozhe odnak viyavitisya sho u poslidovnosti nemaye granici ale isnuye pidposlidovnist danoyi poslidovnosti yaka maye granicyu Yaksho z bud yakoyi poslidovnosti tochok prostoru mozhna vidiliti zbizhnu pidposlidovnist to kazhut sho danij prostir maye vlastivist sekvencialnoyi kompaktnosti abo prosto kompaktnosti yaksho kompaktnist viznachayetsya viklyuchno v terminah poslidovnostej Granichnist u prostorah U topologichnih prostorah sho zadovolnyayut pershij aksiomi zlichennosti ponyattya granici poslidovnosti bezposeredno pov yazano z ponyattyam granichnoyi tochki mnozhini yaksho u mnozhini ye granichna tochka to isnuye poslidovnist elementiv danoyi mnozhini sho shoditsya do ciyeyi tochki Dlya dovilnih topologichnih prostoriv takoyi poslidovnosti mozhe ne isnuvati TopologiyaPoslidovnist tochok xn displaystyle x n topologichnogo prostoru X T displaystyle X mathcal T nazivayetsya zbizhnoyu do tochki x displaystyle x yaksho dlya bud yakogo okolu tochki x O x displaystyle x O x isnuye takij nomer N displaystyle N sho vsi elementi poslidovnosti pochinayuchi z cogo nomera nalezhat okolu n N xn O x displaystyle forall n geq N x n in O x Tochka x displaystyle x nazivayetsya graniceyu poslidovnosti xn displaystyle x n Inshimi slovami vlastivist zbizhnosti ce vlastivist utrimuvati vsi tochki poslidovnosti na pevnij vidstani vid granici pochinayuchi z deyakogo nomera Vsi vidkriti mnozhini tochki yavlyayut soboyu sistemu okoliv ciyeyi tochki LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Granicya poslidovnosti Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 199 594 s Primitki Znak lim stanovit soboyu pershi tri bukvi latinskogo slova limes granica kordon mezha ale chitati jogo treba ukrayinskoyu granicya Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi