Головни́м напру́женням (англ. prinsipal stress) називають напруження, вектор якого є перпендикулярним до площини, на яку він діє. Перпендикулярність вектора свідчить про те, що у цій площині дотичні напруження відсутні.
Загальні положення
Знаходження головних напружень є частковим випадком задання власних значень для матриці, яка містить компоненти тензора напружень. Отримані власні значення є головними напруженнями, а власні вектори характеризують таку базу компонентів, у якій тензор напружень буде представлений у вигляді діагональної матриці.
Більшість тензорів напружень представляються симетричною матрицею (за винятком, наприклад, задач несиметричної теорії пружності чи тензора Піоли-Кірхгоффа першого роду) і головні напруження є дійсними числами.
Якщо розглянути елементарний паралелепіпед довільно зорієнтований у просторі то і напруження на його гранях у загальному випадку будуть характеризуватись тензором напружень з компонентами відмінними від нуля. При зміні орієнтації граней виділеного елемента змінюються також напруження, що діють на його гранях. При цьому можна знайти такі три взаємно перпендикулярні площинки, на яких дотичні напруження дорівнюватимуть нулю. Площинки, на яких дотичні напруження відсутні, називають головними площинками а нормальні напруження, відповідно — головними напруженнями. Як би не було навантажене тіло, в кожній його точці є принаймні три головні площинки, при чому вони взаємно перпендикулярні. Напрями, паралельні головним напруженням, називають головними напрямами напружень або головними осями у даній точці.
Визначення головних напружень
Головні напруження позначаються символами , , . Тензор напружень у виді вираженому через власні вектори буде мати компоненти:
Умовно приймається послідовність позначень:
Головні напруження є коренями такого рівняння:
де:
- — головне напруження;
- , , — інваріанти напруженого стану, які можна визначити з таких виразів:
Значення інваріант не змінюються при повороті системи координат.
Часткові випадки
Деякі з головних напружень можуть дорівнювати нулю. В залежності від кількості відмінних від нуля головних напружень розрізняють такі види напруженого стану:
- лінійний (одновісний);
- плоский (двовісний);
- об'ємний (тривісний).
Див. також
Джерела
- Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. — К.: Наукова думка, 1976. — 416 с.
- Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993. — 655 с.
- Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К.: Знання, 2009. — 380 с.
- Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пружності. — Львів: Світ, 1994. — 560с.
Посилання
- Головна напруга // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 68. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Golovni m napru zhennyam angl prinsipal stress nazivayut napruzhennya vektor s i displaystyle sigma i yakogo ye perpendikulyarnim do ploshini na yaku vin diye Perpendikulyarnist vektora svidchit pro te sho u cij ploshini dotichni napruzhennya vidsutni Zalezhnist napruzhen na granyah paralelepipeda vid oriyentaciyi koordinatnih osej na prikladi ploskogo napruzhenogo stanu s 1 displaystyle sigma 1 s 2 displaystyle sigma 2 golovni napruzhennya Zagalni polozhennyaZnahodzhennya golovnih napruzhen ye chastkovim vipadkom zadannya vlasnih znachen dlya matrici yaka mistit komponenti tenzora napruzhen Otrimani vlasni znachennya ye golovnimi napruzhennyami a vlasni vektori harakterizuyut taku bazu komponentiv u yakij tenzor napruzhen bude predstavlenij u viglyadi diagonalnoyi matrici Bilshist tenzoriv napruzhen predstavlyayutsya simetrichnoyu matriceyu za vinyatkom napriklad zadach nesimetrichnoyi teoriyi pruzhnosti chi tenzora Pioli Kirhgoffa pershogo rodu i golovni napruzhennya ye dijsnimi chislami Yaksho rozglyanuti elementarnij paralelepiped dovilno zoriyentovanij u prostori to i napruzhennya na jogo granyah u zagalnomu vipadku budut harakterizuvatis tenzorom napruzhen z komponentami vidminnimi vid nulya Pri zmini oriyentaciyi granej vidilenogo elementa zminyuyutsya takozh napruzhennya sho diyut na jogo granyah Pri comu mozhna znajti taki tri vzayemno perpendikulyarni ploshinki na yakih dotichni napruzhennya dorivnyuvatimut nulyu Ploshinki na yakih dotichni napruzhennya vidsutni nazivayut golovnimi ploshinkami a normalni napruzhennya vidpovidno golovnimi napruzhennyami Yak bi ne bulo navantazhene tilo v kozhnij jogo tochci ye prinajmni tri golovni ploshinki pri chomu voni vzayemno perpendikulyarni Napryami paralelni golovnim napruzhennyam nazivayut golovnimi napryamami napruzhen abo golovnimi osyami u danij tochci Viznachennya golovnih napruzhenGolovni napruzhennya poznachayutsya simvolami s 1 displaystyle sigma 1 s 2 displaystyle sigma 2 s 3 displaystyle sigma 3 Tenzor napruzhen u vidi virazhenomu cherez vlasni vektori bude mati komponenti s i j s 1 0 0 0 s 2 0 0 0 s 3 displaystyle sigma ij begin pmatrix sigma 1 amp 0 amp 0 0 amp sigma 2 amp 0 0 amp 0 amp sigma 3 end pmatrix dd Umovno prijmayetsya poslidovnist poznachen s 1 s 2 s 3 displaystyle sigma 1 geqslant sigma 2 geqslant sigma 3 Golovni napruzhennya ye korenyami takogo rivnyannya s 3 I 1 s 2 I 2 s I 3 0 displaystyle sigma 3 I 1 sigma 2 I 2 sigma I 3 0 dd de s displaystyle sigma golovne napruzhennya I 1 displaystyle I 1 I 2 displaystyle I 2 I 3 displaystyle I 3 invarianti napruzhenogo stanu yaki mozhna viznachiti z takih viraziv I 1 s i i s 11 s 22 s 33 s 1 s 2 s 3 displaystyle I 1 sigma ii sigma 11 sigma 22 sigma 33 sigma 1 sigma 2 sigma 3 dd I 2 s 22 s 23 s 32 s 33 s 11 s 13 s 31 s 33 s 11 s 12 s 21 s 22 s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 displaystyle I 2 begin vmatrix sigma 22 amp sigma 23 sigma 32 amp sigma 33 end vmatrix begin vmatrix sigma 11 amp sigma 13 sigma 31 amp sigma 33 end vmatrix begin vmatrix sigma 11 amp sigma 12 sigma 21 amp sigma 22 end vmatrix sigma 1 sigma 2 sigma 2 sigma 3 sigma 3 sigma 1 dd I 3 s i j s 1 s 2 s 3 displaystyle I 3 begin vmatrix sigma ij end vmatrix sigma 1 sigma 2 sigma 3 dd Znachennya invariant ne zminyuyutsya pri povoroti sistemi koordinat Chastkovi vipadkiDeyaki z golovnih napruzhen mozhut dorivnyuvati nulyu V zalezhnosti vid kilkosti vidminnih vid nulya golovnih napruzhen rozriznyayut taki vidi napruzhenogo stanu linijnij odnovisnij ploskij dvovisnij ob yemnij trivisnij Div takozhNapruzhennyaDzherelaPisarenko G S Lebedev A A Deformirovanie i prochnost materialov pri slozhnom napryazhennom sostoyanii K Naukova dumka 1976 416 s Opir materialiv Pidruchnik G S Pisarenko O L Kvitka E S Umanskij Za red G S Pisarenka K Visha shkola 1993 655 s ISBN 5 11 004083 4 Opir materialiv Navch posib dlya studentiv VNZ Rekomendovano MON Shvab yuk V I K Znannya 2009 380 s Bozhidarnik V V Sulim G T Elementi teoriyi pruzhnosti Lviv Svit 1994 560s ISBN 5 7773 0109 6PosilannyaGolovna napruga Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 68 ISBN 978 966 7407 83 4