Генератриса цілочисельної випадкової величини

Дискретну випадкову величину ${\displaystyle \xi }$ яка приймає значення з множини ${\displaystyle Z^{+}=\{0,1,\ldots \}}$ будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями ${\displaystyle p_{n}=P\{\xi =n\},\,n\in Z^{+}}$, де ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{n}=1}$.

Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію

${\displaystyle \Psi _{\xi }(s)=Ms^{\xi }\ (|s|\leq 1)}$,

яка виражається через закон розподілу такою функцією:

${\displaystyle \Psi _{\xi }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s^{n}}$,

яка очевидно збігається при ${\displaystyle |s|\leq 1}$.

Застосування в теорії ймовірностей

Якщо ${\displaystyle \xi }$ — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: ${\displaystyle M[X]=\Psi '(1)}$.

Дійсно,

${\displaystyle \Psi '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }np_{n}s^{n-1}}$.

При підстановці ${\displaystyle s=1}$ отримаємо величину ${\displaystyle \Psi '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }{np_{n}}}$, яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.

Якщо цей ряд розбігається, то${\displaystyle \lim _{s\to 1}P'(s)=\infty }$ -- а ${\displaystyle X}$ має нескінченне математичне сподівання, ${\displaystyle P'(1)=M[X]=\infty }$

• Тепер візьмемо твірну функцію ${\displaystyle Q(s)}$ послідовності «хвостів» розподілу ${\displaystyle \{q_{k}\}}$

${\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>j)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.}$

Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією ${\displaystyle P(s)}$ властивістю: ${\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}}$ при ${\displaystyle |s|<1}$. З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:

${\displaystyle M[X]=P'(1)=Q(1)}$

• Диференціюючи ${\displaystyle P'(s)=\sum _{k=1}^{\infty }{kp_{k}s^{k-1}}}$ і використовуючи співвідношення ${\displaystyle P'(s)=Q(s)-(1-s)Q'(s)}$, отримаємо:

${\displaystyle M[X(X-1)]=\sum {k(k-1)p_{k}}=P''(1)=2Q'(1)}$

Для того, щоб отримати дисперсію ${\displaystyle D[X]}$, до цього виразу треба додати ${\displaystyle M[X]-M^{2}[X]}$, що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:

${\displaystyle D[X]=P''(1)+P'(1)-P'^{2}(1)=2Q'(1)+Q(1)-Q^{2}(1)}$.

У випадку нескінченної дисперсії ${\displaystyle \lim _{s\to 1}P''(s)=\infty }$.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)