Внутрішній та зовнішній кути

В геометрії, кут многокутника утворюється двома сторонами зі спільним кінцем. Для простого (без самоперетинів) многокутника, незалежно від того, чи буде многокутник опуклим чи ні, цей кут називається внутрішнім кутом, якщо точка в межах кута буде внутрішньою точкою многокутника. У многокутника рівно один внутрішній кут на кожну вершину.

Внутрішній та зовнішній кути

Якщо усі внутрішні кути простого многокутника не перевищують 180°, то він буде опуклим.

Зовнішній кут — це кут, утворений на однією стороною простого багатокутника та прямої, яка ^[en] прилеглу сторону.^{:pp. 261-264}

Властивості

• Сума внутрішнього кута та зовнішнього кута у вершині дорівнює 180°.
• Сума всіх внутрішніх кутів простого многокутника становить (n-2)·180°, де n — кількість сторін. Формула доводиться за допомогою математичної індукції починаючи з трикутника, для якого сума кутів становить 180°, а потім замінюється одна сторону на дві сторони, з'єднані у вершині і т. д.
• Сума зовнішніх кутів будь-якого простого опуклого чи невипуклого багатокутника становить 360°.
• Міра зовнішнього кута у вершині не залежить від того, яку сторону продовжувати: два зовнішні кути, які можуть бути утворені в вершині, є вертикальними кутами і, тому, рівні.

Примітки

1. Weisstein, Eric W. «Exterior Angle Bisector.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ExteriorAngleBisector.html [ 17 січня 2018 у Wayback Machine.]
2. Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.

Посилання

• Внутрішні кути трикутника [ 15 червня 2018 у Wayback Machine.]
• Сума внутрішніх кутів многокутника: загальна формула [ 29 липня 2020 у Wayback Machine.] Інтерактивний Java-застосунок, яка розширює формулу суми внутрішніх кутів на випадок замкнутих багатокутників з самоперетинами