Вага (теорія представлень)

У теорії представлень вагою алгебри A над полем F називається гомоморфізм із A у поле F, або еквівалентно одновимірне представлення A над полем F. Воно є певною мірою аналогом мультиплікативного характеру групи. Подібне поняття також є для алгебр Лі, у цьому випадку вага представлення є узагальненням власного значення, і відповідний власний простір називається ваговим простором.

Мотивація і загальне поняття

Для множини матриць S , кожна з яких є діагоналізовною і які комутують завжди можна одночасно діагоналізувати всі елементи S. У випадку алгебрично замкнутого поля це еквівалентно тому, що будь-яка множина S напівпростих лінійних операторів скінченновимірного векторного простору V існує базис простору V елементи якого є власними векторами усіх лінійних операторів із S. Кожен із цих спільних власних векторів v ∈ V визначає лінійний функціонал на підалгебрі U у End(V) породженій множиною S; цей функціонал зіставляє кожному елементу U його власне значення для власного вектора v. Це відображення є мультиплікативним, і образом одиничного відображення є 1; тобто дане відображення є гомоморфізмом алгебри U у базове поля. Це узагальнення власного значення є прототипом поняття ваги.

Поняття ваги є пов'язаним із поняттям мультиплікативного характеру у теорії груп, тобто із гомоморфізмом χ із групи G у мультиплікативну групу поля F. Відображення χ: G → F^× задовольняє χ(e) = 1 (де e є одиничним елементом G) і

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$ для всіх g, h у G.

Справді, якщо G діє на векторному просторі V над полем F, кожен власний простір для усіх елементів G, якщо такий існує, задає мультиплікативний характер на G: власне значення на цьому спільному власному просторі для кожного елемента групи.

Поняття мультиплікативного характеру можна розширити для кожної алгебри A над полем F, замінивши χ: G → F^× на лінійний функціонал χ: A → F для якого:

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

для всіх a, b у A. Якщо алгебра A діє на векторному просторі V над полем F то будь-який спільний власний простір задає гомоморфізм із A у F, що присвоює кожному елементу A його власне значення.

Якщо A є алгеброю Лі (яка загалом не є асоціативною алгеброю), тоді замість вимоги мультиплікативності характеру вимагається щоб він відображав дужки Лі у відповідний комутатор; але оскільки F є комутативним це означає що значення характеру має бути рівним нулю: χ([a,b])=0.

Вагою на алгебрі Лі g над полем F називається лінійне відображення λ: g → F із λ([x, y])=0 для всіх x, y у g. Відповідно будь-яка вага на алгебрі Лі g є рівною нулю на похідній алгебрі [g,g] і тому повністю визначається вагою на комутативній алгебрі Лі g/[g,g]. Тому фактично поняття ваги становить інтерес саме для комутативних алгебр Лі, де вони зводяться до поняття узагальненого власного значення для комутуючих лінійних операторів.

Якщо G є групою Лі або алгебричною групою, то мультиплікативний характер θ: G → F^× задає вагу χ = dθ: g → F на відповідній алгебрі Лі за допомогою диференціювання.

Ваги у теорії представлень напівпростих алгебр Лі

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем і ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$— її підалгебра Картана. Підалгебра Картана є комутативною і тому для неї має зміст поняття ваги як воно подано у вступному розділі. Ці поняття зокрема також специфічне поняття коренів (які є ненульовими вагами для приєднаного представлення) відіграють ключову роль у вивченні і класифікації напівпростих алгебр Лі і їх представлень.

Вага представлення

Приклад ваг представлення алгебри Лі sl(3,C)

Нехай V — представлення алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над алгебрично замкнутим полем F і λ — лінійний функціонал на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Тоді ваговим простором V з вагою λ називається підпростір ${\displaystyle V_{\lambda }}$ за означенням рівний

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad H\cdot v=\lambda (H)v\}}$.

Вагою представлення V називається лінійний функціонал λ для якого ваговий простір є ненульовим. Ненульові елементи вагового простору називаються ваговими векторами. Вагові вектори є одночасно власними векторами для дії усіх елементів ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Відповідні власні значення задає функціонал λ.

Множина

${\displaystyle V'=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

є прямою сумою різних вагових просторів і V' є підмодулем V. Якщо V = V' то V називається ваговим модулем. Зокрема у випадку скінченновимірних представлень V завжди є рівним прямій сумі своїх вагових просторів. Звідси випливає також скінченність множини ваг у цьому випадку.

Дія кореневих векторів

Якщо V є приєднаним представленням алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ то ненульові ваги V називаються коренями, вагові простори називаються кореневими просторами, а вагові вектори - кореневими векторами. А саме, лінійний функціонал ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ називається коренем, якщо ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ і існує ненульовий ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ для якого

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

для всіх ${\displaystyle H}$ у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Корені напівпростої алгебри Лі утворюють систему коренів у абстрактному означенні.

Система коренів повністю визначає відповідну напівпросту алгебру Лі і використовується для їх класифікації. Для теорії представлень основне значення має такий результат: Якщо V є представленням ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, v є ваговим вектором з вагою ${\displaystyle \lambda }$ і X — кореневим вектором з коренем ${\displaystyle \alpha }$, то

${\displaystyle H\cdot (X\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X\cdot v)}$

для всіх H у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Тобто ${\displaystyle X\cdot v}$ є або нульовим вектором або ваговим вектором з вагою ${\displaystyle \lambda +\alpha }$. Тобто при дії ${\displaystyle X}$ ваговий простір з вагою ${\displaystyle \lambda }$ відображається у ваговий простір з вагою ${\displaystyle \lambda +\alpha }$.

Цілочисловий елемент

Цілочислові елементи (трикутна ґратка), домінантні цілочислові елементи (чорні точки), і фундаментальні ваги для sl(3,C)

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ — дійсний простір ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ що є дійсною оболонкою коренів ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Введемо на ньому скалярний добуток одержаний із форми Кіллінга. Вся ця побудова має зміст оскільки усі значення форми Кіллінга на коренях є раціональними числами і форму можна лінійно поширити на дійсну лінійну оболонку отримавши при цьому скалярний добуток. Цей скалярний добуток також буде інваріантним щодо групи Вейля, яка є породженою відбиттями щодо гіперплощин ортогональних до коренів. За допомогою скалярного добутку можна ідентифікувати ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$ із відповідним простором ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. Також можна ввести поняття кокореня для кореня ${\displaystyle \alpha }$ як

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$.

Елемент ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ називається цілочисловим якщо

${\displaystyle \langle \lambda ,H_{\alpha }\rangle =2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}\in \mathbf {Z} }$

для всіх коренів ${\displaystyle \alpha }$. Мотивацією для цієї умови є те що кокорінь ${\displaystyle H_{\alpha }}$ можна ідентифікувати із елементом H у стандартній базі ${\displaystyle {X,Y,H}}$ для sl(2,F)-підалгебри у g. Відповідно до стандартних результатів для sl(2,F), власні значення ${\displaystyle H_{\alpha }}$ для будь-якого скінченновимірного представлення є цілими числами. Тому вага будь-якого скінченновимірного представлення ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є цілочисловою.

Фундаментальними вагами ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ називаються ваги, що утворюють базис у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ що є двоїстим до множини кокоренів, що відповідають простим кореням. Тобто фундаментальні ваги задаються умовами

${\displaystyle 2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{i,j}}$

де ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ є простими коренями. Елемент ${\displaystyle \lambda }$ є цілочисловим, якщо і тільки якщо він є цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. Множина всіх ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-цілочислових ваг є ґраткою у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0},}$ що називається ваговою ґраткою для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і позначається ${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$.

На малюнку зображено приклад алгебри Лі sl(2,F), система коренів якої є системою ${\displaystyle A_{2}}$. У цьому випадку є два прості корені, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ і ${\displaystyle \gamma _{2}}$. Перша фундаментальна вага, ${\displaystyle \omega _{1}}$, є ортогональною до ${\displaystyle \gamma _{2}}$ і ортогонально відображається на половину ${\displaystyle \gamma _{1}}$; подібні властивості також виконуються для ${\displaystyle \omega _{2}}$. Ваговою ґраткою у цьому випадку є трикутна ґратка.

Якщо алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є алгеброю Лі групи Лі G то ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$ називається аналітично цілочисловим (G-цілочисловим) елементом якщо кожен t у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ для якого ${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$ задовольняє властивість ${\displaystyle \langle \lambda ,t\rangle \in 2\pi i\mathbf {Z} }$. Якщо представлення ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є диференціалом представлення G, тоді будь-яка вага представлення буде G-цілочисловою. Для напівпростої групи G множина всіх G-цілочислових ваг є підґраткою P(G) ⊂ P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Якщо G є однозв'язною, то P(G) = P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Якщо G не є однозв'язною, то ґратка P(G) є меншою P(${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) і їх факторгрупа є ізоморфною фундаментальній групі G.

Часткове впорядкування на множині ваг

На множині ваг можна ввести часткове упорядкування, яке використовується при описі і класифікації представлень алгебри g. Нехай R — множина коренів і ${\displaystyle R^{+}}$ — додатні корені.

Нехай ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \lambda }$ — два елементи у ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. Елемент ${\displaystyle \mu }$ називається вищим або старшим, ніж ${\displaystyle \lambda }$ (позначається ${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$), якщо ${\displaystyle \mu -\lambda }$ є лінійною комбінацією додатних коренів із невід'ємними цілими коефіцієнтами.

Домінантні ваги

Цілочисловий елемент λ називається домінантним якщо ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ для кожного додатного кореня γ. Еквівалентно, λ є домінантним якщо він є невід'ємною цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. У випадку ${\displaystyle A_{2}}$, домінантні цілочислові елементи належать сектору із кутом 60 градусів.

Множина всіх λ (не обов'язково цілочислових) для яких ${\displaystyle \langle \lambda ,\gamma \rangle \geq 0}$ називається замкнутою фундаментальною камерою Вейля асоційованою із даною множиною додатних коренів.

Теорема про старшу вагу

Вага ${\displaystyle \lambda }$ представлення ${\displaystyle V}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається старшою вагою якщо кожна інша вага ${\displaystyle V}$ є меншою, ніж ${\displaystyle \lambda }$.

Представлення (не обов'язково скінченновимірне) V ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається модулем найвищої ваги якщо воно є породжене ваговим вектором v ∈ V який переходить у нуль при дії будь-якого додатного кореневого вектора у ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Кожен незвідний ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль із старшою вагою є модулем старшої ваги, але у нескінченновимірному випадку, модуль старшої ваги може не бути незвідним.

Теорія незвідних представлень алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ значною мірою будується на ідеї старшої ваги. Ключовим результатом тут є теорема про старшу вагу, яка стверджує що

(1) Для кожного незвідного скінченновимірного представлення існує старша вага,

(2) Старша вага є завжди домінантним, цілочисловим елементом,

(3) Два незвідні (можливо нескінченновимірні) представлення із однаковою старшою вагою є ізоморфними,

(4) Кожен елемент є старшою вагою деякого незвідного представлення,

(5) Представлення зі старшою вагою є скінченновимірним тоді і тільки тоді коли ця вага є цілочисловою і домінантною. Таким чином існує ізоморфізм між домінантними цілочисловими вагами і класами ізоморфізму скінченновимірних незвідних представлень алгебри Лі.

Ваги незвідних скінченновимірних представлень

Якщо ${\displaystyle \lambda }$ є вагою деякого незвідного скінченновимірного представлення, а ${\displaystyle \alpha }$— коренем алгебри Лі, то існують цілі числа ${\displaystyle r\geqslant 0\geqslant q}$ для яких ${\displaystyle r-q=2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$ і всі лінійні функціонали виду ${\displaystyle \lambda +i\alpha ,\;\;r\geqslant i\geqslant q}$ є вагами, тобто утворюється неперервна послідовність елементи якої відрізняються на ${\displaystyle \alpha }$. До того ж відбиття у щодо гіперплощини ортогональної до ${\displaystyle \alpha }$просто розвертає порядок у цій послідовності. Зокрема якщо ${\displaystyle \lambda }$є старшою вагою, то для всіх ${\displaystyle \alpha }$ число r є рівним нулю.

Для незвідного скінченновимірного представлення із старшою вагою ${\displaystyle \lambda }$цілочисловий елемент ${\displaystyle \alpha }$ є вагою тоді і тільки тоді, коли він і всі його спряжені щодо дії групи Вейля елементи є нижчими, ніж ${\displaystyle \lambda }$.

Для розмірності незвідного скінченновимірного представлення ${\displaystyle V_{\lambda }}$ із старшою вагою ${\displaystyle \lambda }$виконується формула Вейля

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in R^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in R^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

де ${\displaystyle \rho }$позначає суму додатних коренів поділену на 2.

Якщо ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$є системою фундаментальних ваг, то ${\displaystyle V_{\omega _{i}}}$називаються фундаментальними незвідними модулями.

Значення фундаментальних незвідних модулів полягає у тому, що якщо вони відомі, то всі інші незвідні скінченновимірні модулі (що перебувають у взаємно однозначній відповідності із цілочисловими домінантними вагами) отримуються як підмодулі їх тензорних добутків. Зокрема якщо ${\displaystyle \lambda =m_{1}\omega _{1}+\ldots +m_{n}\omega _{n}}$то ${\displaystyle V_{\lambda }}$ є підмодулем тензорного добутку ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{n}V_{\omega _{i}}^{m_{i}}}$, де ${\displaystyle V_{\omega _{i}}^{m_{i}}}$позначає тензорний степінь.

Модулі ${\displaystyle V_{\omega _{1}}}$, що відповідають фундаментальним вагам ${\displaystyle \omega _{1}}$ називаються базовими фундаментальними. Більшість інших фундаментальних модулів можна отримати як зовнішні добутки базових фундаментальних модулів.

Зокрема для класичних алгебр типу A_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною n+1, а всі інші фундаментальні модулі отримуються як ${\displaystyle V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність ${\displaystyle \dim V_{\omega _{i}}=C_{n+1}^{i},}$ де ${\displaystyle C_{n+1}^{i}}$позначає біноміальний коефіцієнт.

Для класичних алгебр типу B_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n+1, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n-1}}$ отримуються як ${\displaystyle V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність ${\displaystyle \dim V_{\omega _{i}}=C_{2n+1}^{i}.}$ Фундаментальний модуль для фундаментальної ваги ${\displaystyle \omega _{n}}$для алгебри B_n має розмірність 2ⁿ і його можна отримати із алгебри Кліффорда простору ${\displaystyle V_{\omega _{1}}}$.

Для класичних алгебр типу D_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n-2}}$ отримуються як ${\displaystyle V_{\omega _{i}}=\wedge ^{i}V_{\omega _{1}}}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність ${\displaystyle \dim V_{\omega _{i}}=C_{2n}^{i}.}$Фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\displaystyle \omega _{n-1},\omega _{n}}$для алгебри D_n обидва мають розмірність 2ⁿ і їх можна отримати із алгебри Кліффорда простору ${\displaystyle V_{\omega _{1}}}$.

Для класичних алгебр типу C_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для інших фундаментальних ваг отримуються як ядра деяких лінійних відображень із ${\displaystyle \wedge ^{i}V_{\omega _{1}}}$у ${\displaystyle \wedge ^{i-2}V_{\omega _{1}}}$і для розмірностей цих модулів виконується рівність ${\displaystyle \dim V_{\omega _{i}}=C_{2n}^{i}-C_{2n}^{i-2}.}$

Примітки

1. Hall, 2015 Theorem 7.19 і Eq. (7.9)
2. Hall, 2015 Proposition 9.2
3. Hall, 2015 Proposition 8.36
4. Hall, 2015 Proposition 12.5
5. Hall, 2015 Corollary 13.8 і Corollary 13.20
6. Hall, 2015 означення 8.39

Див. також

• Напівпроста алгебра Лі

Література

• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 
• R. Carter, I. Macdonald, G. Segal Lectures on Lie groups and Lie algebras (London Mathematical Society Student texts Vol. 32). 5th ed. Cambridge University Press, Cambridge 2006,
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN .
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN .
• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN