Алгебричне розширення — розширення поля , кожен елемент якого є алгебричним над , тобто існує многочлен з коефіцієнтами з для якого є коренем.
Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.
Властивості
- Всі скінченні розширення алгебричні.
- Для всіх трансцендентних елементів
елементи
є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.
- Для вежі полів
, розширення
— алгебричне, тоді й лише тоді коли
та
є алгебричними.
- Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a1…an з L. Оскільки всі ці ai алгебричні над K, то розширення K(a1,…an) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a1,…an) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.
- Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел
, а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел
, то одержимо поле алгебраїчних чисел A.
- Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.
Приклади
- Розширення
, тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум.
- Розширення
є алгебричним розширенням.
Див. також
Література
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: , 2006, .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Algebrichne rozshirennya rozshirennya polya L K displaystyle L K kozhen element a displaystyle alpha yakogo ye algebrichnim nad K displaystyle K tobto isnuye mnogochlen f x displaystyle f x z koeficiyentami z K displaystyle K dlya yakogo a displaystyle alpha ye korenem Rozshirennya sho ne ye algebrichnimi nazivayutsya transcendentnimi Element takogo rozshirennya sho ne ye korenem deyakogo mnogochlena tezh nazivayetsya transcendentnim VlastivostiVsi skinchenni rozshirennya algebrichni Dlya vsih transcendentnih elementiv a displaystyle alpha elementi 1 a a2 a3 displaystyle 1 alpha alpha 2 alpha 3 ldots ye linijno nezalezhnimi Otzhe pri isnuvanni hocha b odnogo transcendentnogo elementu rozshirennya ne mozhe buti skinchennim Dlya vezhi poliv K L F displaystyle K subseteq L subseteq F rozshirennya F K displaystyle F K algebrichne todi j lishe todi koli F L displaystyle F L ta L K displaystyle L K ye algebrichnimi Spravdi yaksho a yakij nebud element F to vin za viznachennyam ye korenem deyakogo mnogochlena f x z koeficiyentami a1 an z L Oskilki vsi ci ai algebrichni nad K to rozshirennya K a1 an ye skinchennim nad K a oskilki a algebrichne nad L K a1 an to mayemo z vlastivosti skinchennih rozshiren sho L a skinchenne nad K a element a algebrichnij nad K Zvorotne tverdzhennya ochevidne Yaksho a i b algebrichni nad K to z poperednogo viplivaye sho K a b K a b algebrichne nad K a znachit a b a b ab a b tezh algebrichni Zvidsi viplivaye sho yaksho K L to K L algebrichni elementi nad K utvoryuyut pole Yaksho L ye algebrayichno zamknutim to i K algebrichno zamknute Yaksho uzyati za K pole racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q a za L algebrichno zamknute pole kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C to oderzhimo pole algebrayichnih chisel A Yaksho L K algebrichne rozshirennya to dlya bud yakogo rozshirennya F K yaksho F i L mistyatsya v deyakomu poli kompozit poliv LF ye algebrichnim rozshirennyam F Ce legko viplivaye z poperednogo PrikladiRozshirennya R Q displaystyle mathbb R mathbb Q tobto pole dijsnih chisel yak rozshirennya racionalnih chisel ye transcendentnim Dijsno mnozhina algebrichnih chisel ye zlichennoyu a potuzhnist mnozhini dijsnih chisel kontinuum Rozshirennya C R displaystyle mathbb C mathbb R ye algebrichnim rozshirennyam Div takozhStepin transcendentnostiLiteraturaVan der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Zarisskij O Kommutativnaya algebra Moskva 1963 T 1 373 s ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros J M Howie Fields and Galois Theory London Springer 2006 ISBN 1852339861