Єдиність

У математиці та логіці, фраза «є один і тільки один», використовується, щоб вказати, що існує тільки один об'єкт з зазначеною властивістю. У математичній логіці, такий різновид квантору відомий як квантор унікальності або квантор єдиності.

Єдиність часто позначається символами «∃!» або ∃₌₁". Наприклад, формальне твердження

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

можна читати, як «є тільки одне натуральне число n , таке, що n — 2 = 4».

Доказ єдиності

Найбільш поширений метод доведення єдиності існування, наступний: спершу довести існування суб'єкта з потрібною властивістю; далі припускають, що існують два об'єкти (скажімо, A і B ) з такою властивістю, потім логічно виводиться їх рівність, тобто  a = b.

Наведемо простий приклад з середньої школи. Щоб показати x + 2 = 5 має рівно одне рішення, спочатку покажемо, що існує принаймні одне рішення, а саме: 3; доказ цієї частини відбувається обчисленням

${\displaystyle 3+2=5.\,}$

Тепер припустимо, що існують два рішення, а саме a і b, які задовольняють рівняння x + 2 = 5. Таким чином

${\displaystyle a+2=5\quad {\text{ та }}\quad b+2=5.\,}$

За транзитивності рівності,

${\displaystyle a+2=b+2.\,}$

Скорочуємо на 2:

${\displaystyle a=b.\,}$

Цей простий приклад показує, як доводиться єдиність. Кінцевим результатом є рівність двох величин, що задовольняють умові.

Як існування, так і єдиність повинні бути доведені, щоб зробити висновок, що існує рівно одне рішення.

Альтернативний спосіб довести унікальність полягає в доказі існування значення ${\displaystyle a}$ ,що задовольняють умові, а потім довести, що для всіх ${\displaystyle x}$, умова ${\displaystyle x}$ означає ${\displaystyle x=a}$.

Зведення до звичайних кванторів існування та загальності

Єдність може бути виражено в термінах кванторів існування та загальності логіки першого порядку, визначивши формулу ∃!x P(x) яка буквально означає,

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x))}$

яка є такою ж, як

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Еквівалентне визначення, що має силу відокремлювати поняття існування і єдиності у два пункти, за рахунок стислості

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,((P(y)\wedge P(z))\to y=z).}$

Інше, більш лаконічне еквівалентне визначення

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Узагальнення

Одним з узагальнень єдиності є ^[en]. Він включає в себе обидва квантори виду «існує рівно k об'єктів таких, що …», а також «існує нескінченно багато об'єктів таких, що …» і «існує лише скінченне число об'єктів таких, що …». Перша з цих форм виражається за допомогою звичайних кванторів, але останні два не можуть бути виражені у звичайній логіці першого порядку.

Єдиність залежить від поняття відношення рівності. Якщо ослабити його до якогось грубішого відношення еквівалентності, дає кількісну оцінку єдиності (з точністю до) тієї еквівалентності (в рамках цієї структури, регулярна унікальність є «унікальність до рівності»). Наприклад, багато понять у теорії категорій визначаються як єдині з точністю до ізоморфізму.

Див. також

• (Унітарний код)
• Синґлетон (математика)

Примітки

1. Це є наслідком (теореми про компактність).

Посилання

• Kleene, Stephen (1952). Introduction to Metamathematics. Ishi Press International. с. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof (вид. 2.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. с. 233. ISBN .